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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.4. Utilizando la definición, hallar las derivadas de las funciones anteriores en un $x_{0}$ genérico.
Respuesta
La derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( x_0 \) puede ser definida mediante el límite del cociente incremental como sigue:
$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $
Para la función \( f(x) = x^3 \):
$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^3 - x_0^3}{h} $
Para la función \( f(x) = \frac{1}{x} \):
$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x_0 + h} - \frac{1}{x_0}}{h} $
Para la función \( f(x) = \ln(x) \):
$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x_0 + h) - \ln(x_0)}{h} $ Así es como nosotros deberíamos haber calculado las derivadas "por definición" en el Ejercicio 3, reemplazando $x_0$ por el correspondiente en cada caso. Ni te estreses con esto, todas estas derivadas se calcularán hoy y siempre usando las reglas de derivación, sólo vamos a necesitar recurrir a derivar por definición en el caso de funciones partidas justo donde la función se parte. Olvidate y seguí avanzando que lo más importante todavía no arrancó.